Родился 8 сентября 1920 года в Москве. Брат М. К. Граве. В 1942 году окончил Театральное училище имени Б. В. Щукина, курс А. А. Орочко, был принят в труппу Театра имени Вахтангова и зачислен во фронтовую бригаду театра. В составе бригады (позже получившей статус филиала театра), прикреплённой к Первому Украинскому фронту, А. К. Граве прошёл всю войну, дойдя до Берлина.

А. К. Граве всегда был востребован в Театре Вахтангова, верность которому хранил более 65 лет. Воплотил на сценических подмостках более 150 образов, в том числе и благодаря способности быстро «ввестись» в уже идущие спектакли в случае болезни кого-то из коллег.

Первая значимая роль в кино — рядовой Огурцов в кинокомедии «Беспокойное хозяйство» — надолго обеспечила Граве любовь зрителей, несмотря на то, что в дальнейшем кинематограф не баловал его главными ролями.

В конце 1940-х годов А. К. Граве впервые обратился к театральной педагогике, но плотная занятость в репертуаре театра вскоре вынудила его отказаться от преподавания. Граве вновь вернулся в ВТУ им. Щукина в 1986 году педагогом кафедры мастерства актёра. Выпустил два курса в качестве художественного руководителя: в 1992 — Коми-пермяцкую национальную студию и в 2000 — обычный актёрский курс (ученики — Ю. А. Колокольников, Н. В. Швец, Д. Г. Белых, Л. П. Тихомирова, К. В. Иванченко и др.). Был одним из ведущих мастеров Щукинского института; профессор (с 1998 года).

Высокий уровень профессиональной культуры, подлинная интеллигентность, мягкая ирония и юмор позволили А. К. Граве не затеряться среди своих «звёздных» и более молодых коллег — Юлии Борисовой, Михаила Ульянова, Владимира Этуша, Юрия Яковлева, Василия Ланового — обеспечив ему свою особую нишу в театре. До последних дней своей жизни А. К. Граве оставался одним из основных хранителей подлинной вахтанговской театральной культуры.

Первая жена — Дарья Пешкова, внучка М. Горького. Со второй женой Татьяной Дмитриевной Александр Константинович прожил около 40 лет.

Скончался 5 марта 2010 года после продолжительной болезни.

Александра Граве похоронили во вторник, 9 марта 2010 года, на Алексеевском кладбище в Москве. Прощание прошло в этот же день в Театре имени Вахтангова в 12.30 мск.

• Интересные факты

• Во время работы во фронтовом филиале Театра Вахтангова А. К. Граве оформил два спектакля («Где-то в Москве» и «Не в свои сани не садись») в качестве художника.
• Тексты песен для спектакля «Мещанин во дворянстве» были написаны А. К. Граве.